Propiedades de los determinantes

En lo que sigue consideraremos como una matriz cuadrada de orden n; Fi y Cj una fila y una columna cualesquiera de esa matriz. El determinante de una matriz lo podemos ver como una función de sus filas

o de sus columnas

Las propiedades mas importantes de los determinantes son:

1. El determinante de una matriz cuadrada es igual al determinante de su matriz traspuesta.

2. Si los elementos de una línea o columna de una matriz se multiplican por un número, el determinante de la matriz queda multiplicado por dicho numero:

3. Si todas las lineas de una matriz de orden están multiplicadas por un mismo número el determinante de la matriz queda multiplicado por

4.

5. El determinante del producto de dos matrices cuadradas es igual al producto de los determinantes de ambas matrices:

6. Si en una matriz cuadrada se permutan dos lineas, su determinante cambia de signo:

7. Si una línea de una matriz cuadrada es combinacion lineal de las lineas restantes, es decir, es el resultado de sumar los elementos de otras lineas multiplicadas por números reales, su determinante es cero. Consecuencia inmediata de esta propiedad es que si una matriz tiene una línea de ceros su determinante es cero.


8. Si a los elementos de una línea de una matriz cuadrada se les suma una combinacion lineal de las líneas restantes, su determinante no varia.

El metodo de Chío consiste en hacer cero el mayor número posible de elementos de una línea utilizando las propiedad anterior de los determinantes y posteriormente desarrollar el determinante por los adjuntos de los elementos de esa linea en la que hemos hecho ceros.

CLASIFICACION DE LAS MATRICES POR SU ORDEN

MATRICES TRIANGULARES

Si en una matriz cuadrada es:

aij = 0 , "i esmenor que j

se dice que la matriz es triangular superior.

La que sigue es una matriz triangular superior de orden 4:

Si en una matriz cuadrada es:

aij = 0 , "i>j

se dice que la matriz es triangular inferior.

La que sigue es una matriz triangular inferior de orden 4:

MATRIZ DIAGONAL

Se llama matriz diagonal a toda matriz que es simultáneamente triangular superior y triangular inferior.

Es inmediato que, en una matriz diagonal, es

aij = 0 , "i¹j .

El siguiente es un ejemplo de matriz diagonal:

MATRIZ ESCALAR

Se llama matriz escalar a toda matriz diagonal en la que:

d11=d22=d33= ... = dii= k , siendo k un escalar.

Este es un ejemplo de matriz escalar:

La matriz inversa

Sabemos ya multiplicar matrices y hemos visto algunas de las propiedades de esta operacion.
Recordemos, en primer lugar, que no siempre es posible efect´uar la multiplicacion de dos matrices, y en segundo lugar, que aunque sea posible hacer esta multiplicacion, en general no es conmutativo, es decir A·B es distinto de B·A.
En el caso particular de que tratemos con matrices cuadradas del mismo orden A y B, es claro que podemos efectuar los productos A·B y B·A, que daran como resultado otra matriz del mismo orden, aunque, como ya se ha dicho, las matrices resultantes seran, en general, distintas.
Sabemos tambien que el elemento neutro del producto de matrices es la matriz identidad In.
Por analogıa con el caso de los numeros reales, podemos plantearnos la siguiente cuestion:
Si tenemos un numero real, por ejemplo el 2, podemos interesarnos en buscar el inverso del 2 para el producto, es decir un n´umero real x tal que 2·x = 1, el producto de 2 por x sea igual al elemento neutro, el 1.
Evidentemente, en el caso de los n´umeros reales es bien facil despejar x para obtener, en nuestro caso, que x = 1/2, es decir, el inverso de un numero real es otro numero que multiplicado por el da el elemento neutro, el 1.
Todo numero real, salvo el 0, tiene inverso.
Trasladando esto a las matrices, nos podemos plantear si dada una matriz cuadrada A de orden n, cualquiera, existe su inversa X para el producto de matrices,tal que
A ・ X = In
es decir, el producto de A por su inversa produce el elemento neutro matricial, la matriz identidad In.
Sin embargo, hay algunas diferencias con respecto al caso de los numeros reales:
1) No podemos “despejar” la matriz X del modo X = In /A , porque no hemos definido la division de matrices.
2) No todas las matrices cuadradas no nulas tienen matriz “inversa” (sea lo que sea, por analogıa
con los numeros).
Definamos, en primer lugar, el termino de matriz inversa:
Dada una matriz cuadrada de orden n , A, se dice que A es invertible (o que posee inversa o que es no singular o que es regular ), si existe otra matriz del mismo orden, denominada matriz inversa de A y representada por A−1 y tal que:
A ・ A−1 = In y A−1 ・ A = In
Si A no tiene inversa, se dice que es singular o no invertible.

Definición de matriz

Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:

Abreviadamente suele expresarse en la forma A =(aij), con i =1, 2, ..., m, j =1, 2, ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la columna (j). Por ejemplo el elemento a25 será el elemento de la fila 2 y columna 5.
Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales.

Operaciones con Matrices

Una matriz es un arreglo de los coeficientes constantes de un sistema de ecuaciones lineales.Para el acomodo de dichos coeficientes se toma como filas y columnas, y las coordenadas o lugares donde se encuentran cada cantidad se empiezan a numerar desde 1,1 o sea, fila 1, columna 1.Las matrices pueden ser cuadradas o rectangulares, son cuadradas cuando el numero de filas y columnas es el mismo, y son rectangulares cuando son diferentes.

Suma de matrices

La unica regla que hay para la suma de matrices es que ambas tienen que tener el mismo numero de filas y de columnas, y no importa si son rectangulares o cuadradas.Lo que se hace es sumar cada posicion de una matriz con la misma de la otra, por lo que la matriz resultante es una con el mismo numero de filas y columnas que las demas y cuyos valores son la suma de los valore de las otras 2 matrices.Por ejemplo:

+ =

Como se puede ver, la matriz resultante tiene en su posicion 1,1 la suma de la posicion 1,1 de la primera matriz mas la 1,1 de la segunda, y asi se van poniendo todas las sumas de las posiciones, y es todo lo que hay que decir acerca de la suma de matrices.

Resta de matrices

La unica regla que hay para la resta de matrices es que ambas tienen que tener el mismo numero de filas y de columnas, y no importa si son rectangulares o cuadradas.Lo que se hace es restar cada posicion de una matriz con la misma de la otra, por lo que la matriz resultante es una con el mismo numero de filas y columnas que las demas y cuyos valores son la resta de los valore de las otras 2 matrices.Por ejemplo:

- =

El proceso es identico al de la suma, solo que aqui se restan las posiciones, por eso la matriz resultante en su posicion 1,1 tiene la resta de la posicion 1,1 de la primer matriz menos la 1,1 de la segunda.

Multiplicacion de matrices

La multiplicacion de matrices es un poco mas complicada.La regla aqui es que el numero de columnas de la primera matriz sea igual al numero de filas de la segunda, esto es, que se puede hacer una multiplicacion de una matriz 2x3 por una de 3x5, y la matriz resultante tiene el numero de filas de la primer matriz y las columnas de la segunda, por lo que quedaria una matriz de 2x5.Ademas, a diferencia de la suma y la resta, la multiplicacion no es posicion por posicion, sino que se hace de la siguiente manera:Se toma la primera fila de la primer matriz y la primer columna de la segunda matriz, y lo que se hace es multiplicar una posicion de fila por una de columna:

X =

En el ejemplo de arriba se multiplica una matriz de 2x3 por una de 3x1, y se toma la primera fila de la primer matriz, o sea 2,4,6 y la primer columna de la otra, o sea -5,-7,6, y la resultante toma las filas de la primera, o sea 2 y las columnas de la segunda, o sea 1, y quedan 2 lugares solamente.Se llenan haciendo la multiplicacion (2x-5) + (4x-7) + (6*6) o sea posicion de fila por posicion de columna.Despues si la segunda matriz tuviera mas columnas, se pasa a la siguiente, y sin cambiar de fila en la primera se vuelve a hacer la multiplicacion y las sumas hasta que se acaben las columnas de la segunda matriz.Ya que se acabaron las filas de la segunda, se pasa a la siguiente fila en la primera y se empieza de nuevo: (-1x-5) + (3x-7) + (9x6) y se pone en el segundo lugar de la matriz, en este caso el unico que queda, pero si hubiera mas columnas se va llenando hasta que se completen las columnas y luego se baja a la siguiente fila.Asi se sigue hasta que se acaben las filas de la primer matriz.